Claude在黎曼猜想上取得意外突破：将零点下限提升至67.2%

订阅Anthropic Science涵盖整个科学领域的人工智能辅助发现、实用工作流程和实地笔记。科学2026年8月10日最近，Anthropic的一名工作人员向Claude提出了一个极具挑战性的任务：尝试解决数学中最著名的未解决问题之一——黎曼猜想。

Claude确实认真尝试了，但正如你所预料的那样，考虑到这个问题的难度（黎曼猜想可追溯至1859年，悬赏金额高达一百万美元），它并未成功。然而，在尝试过程中，它意外地在相关问题上取得了进展。一个未发布的研究版Claude改进了满足黎曼假设的黎曼zeta函数零点比例的下限。

基于数学家过去几十年的广泛研究，它将这一界限从41.6%提升至67.2%。Anthropic的两名数学家研究并验证了Claude的论文，并为专家撰写了一份非正式笔记，简洁地陈述了Claude的证明。

Claude还为其结果生成了可正式验证的证明。我们感谢该领域的两位专家Brian Conrey和Dan Goldston，他们在短时间内慷慨地审阅了这篇论文。我们并不期望Claude使用的技术能够证明黎曼猜想，但它的工作再次展示了AI模型数学能力进步的速度。

在这篇文章中，我们讨论Claude如何处理这个问题以及它的发现。黎曼zeta函数描述了素数的分布：函数取值为零的每个点都为素数序列提供了更精细的细节。黎曼假设认为，决定素数的零点都位于一条特定的垂直线上。

这已成为数学中最重要的猜想之一：许多结果依赖它来为素数提供某种随机性。目前尚无人能够证明或反驳黎曼假设，但数学家已在许多相关方向上取得进展，研究黎曼zeta函数及其零点。

如上所述，其中一个方向是量化位于线上的零点的最小比例：随着时间的推移，他们逐渐将这个已知的常数比例提升至41.6%。另一个方向涉及线上零点的分布。特别是，1973年，Montgomery在该领域引入了许多新技术，尽管这些技术假设该猜想成立。

最近，几位数学家（Baluyot、Goldston、Suriajaya和Turnage-Butterbaugh）发表了一系列工作，使得Montgomery的技术无需该假设也能适用，这意味着它们可以支持提高线上零点下限常数的工作。

Claude的结果在很大程度上借鉴了这一研究路线，以及Bombieri在2000年的一篇论文。

Claude发现，将Baluyot、Goldston、Suriajaya和Turnage-Butterbaugh的结果与Bombieri的工作相结合，提供了一种超越先前最先进下限比例41.6%的方法，将其提升至67.2%。

Claude发现的简短技术解释如下：Claude构造了一个合适的函数空间，该空间具有由Weil诱导的二次型，以及由线上（分别离线）零点产生的正定（分别负定）子空间。然后，Claude根据一阶和二阶矩信息，直接写出关于二次型秩的不等式。

（后者通过素数上的对偶图像或通过控制Hilbert变换成功计算，在解析数论中并不令人意外。）在某种意义上，正是这种勇气——将整个空间视为整体，同时考虑正定性和负定性，并允许二次型非对角——使得Claude能够基于重要的先前工作得出结论。

完整的技术解释可在论文中找到。Claude对其如何得出结果的解释可在单独的附录中查看。一个未发布的研究版Claude在Claude Code中通过两个会话发现了新的下限，总共使用了3100万个输出token。

Anthropic的工作人员Jarred Sumner（非数学家）促使Claude“真正尝试”假设本身，将数学选择留给模型。最初，Claude生成并尝试了650个想法，但均未成功。

Jarred鼓励Claude再试一次，它花了一天半的时间协调了大约60个Claude子代理，这次深入得多：它们之间运行了2400个shell命令，并编写了数百个Python脚本。1 子代理对已知的zeta零点进行了数千次数值检查，并相互评审彼此的工作。

在整个过程中，Jarred的输入主要限于向Claude发送鼓励信息（主要是“继续”或“相信自己”的变体）。2 这似乎帮助Claude克服了最初对能否取得有意义进展的怀疑。

在尝试任务时发现这一新结果后，Claude通过让各个子代理审查证明、搜索反例、从arXiv下载54篇论文以确认其发现尚未被提出，并独立从头重新证明其发现来测试其工作。Claude主动将其发现写成论文，并建议由人类数论专家验证其发现。

Anthropic自己的两位数学家Levent Alpöge和Ralph Furman检查了Claude的工作，以理解新结果及其与上述先前工作的关联。

与此同时，Claude与另一位工作人员Eric Easley合作，为结果生成了Lean形式化证明，该证明通过了标准验证工具comparator。这一结果表明，像Claude这样的AI模型能够以新的、有时令人惊讶的方式扩展数学家思想的影响力和范围。

尽管它本身无法解决黎曼猜想，但这一结果却是最初请求的意外副产品。就连Claude也对自己的发现感到惊讶——它起初持怀疑态度，可能是因为它从训练中了解到数学开放问题的难度以及AI模型的局限性。但在一些鼓励性的提示之后，它得出了我们所描述的结果。

也许Claude和我们许多人一样，低估了AI进步的速度。以下是提供有关Claude结果更多信息的文档列表：- Claude的论文；- Claude的形式化证明；- Anthropic的非正式笔记，更简洁地陈述了证明；

- Claude对其如何得出结果的解释；- Claude过程的详细记录。- 在60个子代理中，有两个负责开发关键的数学思想，13个向这些代理贡献了想法，30个尝试（但未能）开发新想法，13个作为验证者检查论证的正确性，最后两个帮助撰写了最初的论文。

- 包括类似鼓励在内的提示被用来帮助Claude反驳雅可比猜想。加密算法。第一次攻击显著削弱了HAWK，这是一种为未来量子计算机能够破解现有标准的世界而设计的数字签名方案。第二次攻击确定了一种攻击轮数减少的AES（最广泛使用的对称密码）的新方法。

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