AI 攻克传奇数学家 Erdős 难题

2026 年 5 月 20 日，OpenAI 发布了一项震动数学界的公告：一个未公开的内部 AI 模型为“单位距离”问题提出了反例。该猜想由多产且居无定所的匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）于 1946 年提出。

埃尔德什提出了数千个问题，但这个问题尤为特别：它既易于表述，又具有深刻的数学内涵。这是 AI 模型首次取得具有历史意义的证明。尽管该模型的结果并非定论——人类数学家数周内便大幅改进了它——但它极具创新性，引入了来自数学遥远分支的思想，而此前无人成功将其应用于此问题。

它同样影响深远：几天之内，相关技术就被用于解决其他重要问题。随后，8 月 1 日，OpenAI 宣布一个名为 Astra 的未发布模型取得了 10 项额外的数学进展，包括为埃尔德什提出的另外三个问题找到解决方案。

许多数学家将此类进展誉为 AI 模型数学能力的阶段转变。普林斯顿大学的诺加·阿隆（Noga Alon）表示，这些模型“正极大地改变数学研究的方式”。阿隆在数十年的职业生涯中解决了数十个埃尔德什问题。

埃尔德什及其猜想长期以来一直令数学家着迷。

他常年旅行——一次提着行李箱生活数年，寄宿于朋友家，几乎一无所有。他在发表的论文和写给世界各地数学家的信中快速抛出问题，并常附上奖金，承诺自掏腰包奖励首位解决者。奖金可能是象征性的 10 美元或 25 美元，而对于他认为重要或困难的问题，奖金可达数千美元。

1996 年，埃尔德什在华沙参加数学会议时因心脏病去世，但总部位于爱荷华州的一个非营利基金会承诺兑现他的悬赏。他是一个受人爱戴的人物，但也十足古怪：只穿丝绸衣物，避免与他人身体接触。他对权威极度怀疑，将大部分收入捐出，并依赖一位朋友管理财务和其他事务。

他称上帝为“最高法西斯主义者”，并以持续服用安非他命来支撑他源源不断的数学思想产出。历史的讽刺之处在于，他提出的问题如今已成为全球最大、最强科技公司的核心试验场，实际上也是一系列公关胜利。但若非英国数学家托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom），这一切很可能都不会发生。

多次会面与埃尔德什一样，布鲁姆对数论和组合学都感兴趣。

他的研究重点是算术组合学，这一领域处于数论与组合学的交叉地带。2014 年获得博士学位后，布鲁姆迅速成为该领域的后起之秀，并获得了英国皇家学会的著名奖学金，使他几乎可以自由选择任何大学工作（他目前任职于曼彻斯特大学）。

布鲁姆自记事起就欣赏埃尔德什的风格，但他一直难以追踪哪些问题已被解决、哪些已被完全遗忘。因此，2023 年初，他决定尽可能多地将问题收集成一份清单，最初仅供自己使用。但他表示：“我想，如果无论身在何处都能访问，会更方便。

”他心想“不妨建个网站，虽然预期可能没人会用”。他收集了数百个问题，并上线了 erdosproblems.com。布鲁姆使用 ChatGPT 编写了运行网站的 Python 代码，这在当时对大型语言模型而言是了不起的成就。

而用 AI 协作数学本身，在当时仍显得遥不可及。他的目标不仅是划掉清单上的项目。他在一篇博客文章中写道，他想知道“现代数学（常使用埃尔德什未知的技术）能否解决许多这些较为冷门的问题。这样我们就能留下一个有趣且困难的核心问题集，用以展示我们知识的边界。

”

布鲁姆在整理清单方面做了关键工作：有时埃尔德什的问题表述含糊不清，布鲁姆会确定每个问题最合理的版本。他不断向网站添加问题，受众逐渐增长。

在 2024 年和 2025 年前八个月，清单上 111 个问题的状态从“开放”变为“已解决”（尽管其中一些早在多年前就已解决，状态变化反映了证明的重新发现或验证）。随后，2025 年 8 月，一些同事建议布鲁姆添加评论功能，以便人们讨论感兴趣的问题。

他借助 ChatGPT 编写代码，很快实现了这一功能。此时他已收录了近 1000 个问题。布鲁姆的时机把握得很好。他让志同道合的人能够相互交流，这“真正建立了一个社区”，他说。大多数情况下，评论是零星的——一个问题可能只吸引一条评论，指出一个例子或感叹问题之难。

但活动稳步增长，一些问题引发了陌生人之间细致的数学讨论。“汤姆可能从未真正意识到，但对我来说，这确实改变了我的生活，”沃特·范·多恩（Wouter van Doorn）说，他是布鲁姆网站上评论第四多的人。

与许多在 2025 年秋季活跃于该网站的人一样，范·多恩并非严格意义上的专业数学家。

用他的话说，他“在一家被其他公司雇佣提供客户服务支持的公司工作”。但他也并非完全业余——十年前，他几乎完成了比利时鲁汶大学的数学硕士学位。2024 年，部分由于他看到 LLM 能力的提升，他请了六个月假专注于数学。

当时，虽然他并不特别想使用 AI，但他记得自己曾想：“现在我的数学水平仍比 AI 强，但谁知道一年、两年、五年后会怎样？如果我想完成这些项目，并希望它们属于我，现在就是时候。”因此，2025 年 10 月，已回归日常工作的范·多恩在问题 1102 的页面留下了第一条评论。

该问题由埃尔德什于 1981 年提出，涉及“无平方因子”整数集合的性质——即没有重复质因数的整数（例如，30 是无平方因子的，因为它等于 2 × 3 × 5；但 18 不是，因为它等于 2 × 3 × 3，其中 3 重复了）。

11 月初，范·多恩在问题页面以评论形式分享了他不依赖 AI 得出的答案进展。当天晚些时候，网站上的另一位评论者回复，声称发现范·多恩论证中的缺陷。两人迅速交换意见，范·多恩说服了对方其论证是正确的。

“我现在明白你的论证了。不错！”另一位数学家回复道。

那位数学家是加州大学洛杉矶分校教授陶哲轩（Terence Tao），他可以说是当今最著名的数学家，也无疑是最具影响力的人物之一（值得一提的是，陶哲轩 10 岁时曾与埃尔德什有过交集）。布鲁姆的网站具有早期互联网的外观和感觉，正成为互联网民主精神的典范。

“没有汤姆的网站和那里的评论区，这次合作完全不可能实现，”范·多恩说。无论你是否拥有终身教职，无论年轻或年长，无论你身处名校还是普通大学，都不重要。